Soal Bentuk Akar dan Jawaban - UTBK 2022

Bentuk akar adalah salah satu konsep yang penting dalam matematika. Akar berhubungan erat dengan eksponen dan logaritma. Di halaman ini, ada 10 soal terkait bentuk akar yang bisa kamu kerjakan beserta pembahasannya.

1. $\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{...}}}}$ =...

a. $2\sqrt{3}$

b. $4$

c. $\sqrt{12}$

d. $4\sqrt{3}$

Jawaban : B

Misalkan hasil dari $\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{...}}}$ adalah x

$\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{...}}}} = x$

Hilangkan satu akar dengan mengkuadratkan kedua sisi

$12 + \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{...}}} = x^{2}$

Sesuai dengan ketetapan di awal, tukar $\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{...}}}$ dengan $x$

$12 + x = x^{2}$

$0 = x^{2} - x - 12$

$(x-4)(x+3)$

x = 4 atau x = -3

Ambil yang positif; x = 4

2. $\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{...}}}}$ =...

a. $2\sqrt{5}$

b. $5\sqrt{4}$

c. 4

d. 20

Jawaban : C

Misalkan $\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{...}}}}=x$

Hilangkan akar terluar dengan mengkuadratkan kedua sisi

$20-\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{...}}}=x^{2}$

Sesuai dengan ketetapan di awal, tukar $\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{...}}}}$ dengan $x$

$20-x=x^{2}$

$0 = x^{2}+x-20$

$(x-4)(x+5)$

x = 4 atau x = -5

Ambil yang positif; x = 4

3. $\sqrt{15\sqrt{15\sqrt{15\sqrt{...}}}}$ =....

a. $3\sqrt{5}$

b. $5\sqrt{3}$

c. $5$

d. $15$

Jawaban : D

Misalkan $\sqrt{15\sqrt{15\sqrt{15\sqrt{...}}}} = x$

Hilangkan akar terluar dengan mengkuadratkan kedua ruas

$15\sqrt{15\sqrt{15\sqrt{...}}}=x^{2}$

$15x = x^{2}$

Bagi kedua ruas dengan $x$

$15 = x$

4. $\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} + \frac{5}{1+\sqrt{6}} =$...

a. $4-\sqrt{6}$

b. $1 - \sqrt{6}$

c. $\sqrt{2}-\sqrt{6}$

d. $\sqrt{6}$

(SBMPTN 2015)

Jawaban : A

$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} \cdot \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}-\sqrt{12}} +\frac{5}{1+\sqrt{6}} \cdot \frac{1-\sqrt{6}}{1-\sqrt{6}}$

$= \frac{18+12-2\sqrt{18\cdot12}}{18-12} + \frac{5-5\sqrt{6}}{1-6}$

=$\frac{30-2\sqrt{9\cdot2\cdot4\cdot3}}{6}+\frac{5(1-\sqrt{6})}{-5}$

=$\frac{30-12\sqrt{6}}{6}-1+\sqrt{6}$

=$5-2\sqrt{6}-1+\sqrt{6}$

=$4-\sqrt{6}$

5. Bentuk sederhana dari $\frac{\sqrt{5}}{3+2\sqrt{2}}$ adalah...

a. $3\sqrt{10}-2\sqrt{5}$

b. $3\sqrt{5}-2\sqrt{10}$

c. $9\sqrt{20}$

d. $3\sqrt{10}+2\sqrt{3}$

Jawaban : B

Rasionalkan akar terlebih dahulu

$\frac{\sqrt{5}}{3+2\sqrt{2}} \times \frac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$

=$\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{10}}{9-(4 \times2)}$

=$\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{10}}{9-8}$

=$3\sqrt{5}-2\sqrt{10}$

6. Sederhanakan $\sqrt{7}\cdot\sqrt{21}$

a. $12\sqrt{3}$

b. $7\sqrt{2}$

c. $3\sqrt{7}$

d. $7\sqrt{3}$

Jawaban : D

$\sqrt{7}\cdot\sqrt{21}=\sqrt{7\times21}$

$=\sqrt{147}$

$=\sqrt{49}\cdot\sqrt{3}$

$=7\sqrt{3}$

7. Sederhanakan bentuk akar $\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$

a. $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

b. $5-2\sqrt{6}$

c. $7-2\sqrt{6}$

d. $\sqrt{6}-1$

(SMUP Unpad 2010)

Jawaban : A

Gunakan $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ untuk memfaktorkan bentuk akar

=$\sqrt[4]{(5-2\sqrt{6})}^{2}$

Sederhanakan indeks akar dan pangkat dengan membaginya dengan 2

=$\sqrt[]{(5-2\sqrt{6})}$

Gunakan $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ untuk memfaktorkan bentuk akar

=$\sqrt[]{(5-2\sqrt{6})}=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}$

Sederhanakan indeks akar dan pangkat dengan membagi keduanya dengan 2

=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

8. Jika $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}}=a+b\sqrt{5}$, maka $a+b$=..

a. $\sqrt{5}$

b. 4

c. 5

d. $\sqrt{10}$

Jawaban : C

$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}}=a+b\sqrt{5}$

Selesaikan operasi - dan + terlebih dahulu

$\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}} \right )\div\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}} \right )=a+b\sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}} \div \frac{\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}} \times \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2}=a+b\sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}=a+b\sqrt{5}$

Rasionalkan bentuk akar terlebih dahulu

$\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}\times\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=a+b\sqrt{5}$

$\frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{5-4}=a+b\sqrt{5}$

$\frac{5-2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+4}{1}=a+b\sqrt{5}$

$9-4\sqrt{5}=a+b\sqrt{5}$

Maka $a$=9 dan $b$=-4, sehingga $a+b$= 9 + (-4) = 5

9. Diketahui $\sqrt{4k^{2}+13}-7=0$. Berapakah nilai dari $k$?

a. $\sqrt{7}$

b. 3

c. $3\sqrt{13}$

d. 6

Jawaban : B

$\sqrt{4k^{2}+13}-7=0$

$\sqrt{4k^{2}+13}=7$

Hilangkan akar dengan mengkuadratkan kedua sisi

$4k^{2}+13=49$

$4k^{2}=36$

$k^{2}= 36 \div 4$

$k^{2}= 9$

$k=3$

10. $\sqrt{3}(2\sqrt{5}+\sqrt{20})$=...

a. $5\sqrt{2}$

b. $3\sqrt{5}$

c. $2\sqrt{15}$

d. $4\sqrt{15}$

Jawaban : D

$\sqrt{3}(2\sqrt{5}+\sqrt{20})$

$=2\sqrt{15}+\sqrt{60}$

$=2\sqrt{15}+\sqrt{4\cdot15}$

$=2\sqrt{15}+2\sqrt{15}$

$=4\sqrt{15}$